дано:
площадь треугольника ABC = 18 м²
sin(A) = 0,8
найти:
площади треугольников СВК и АВК.
решение:
1. Воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника. Площадь треугольника ABC можно выразить как:
S_ABC = (1/2) * AC * BC,
где AC и BC — катеты треугольника.
2. Мы знаем, что S_ABC = 18, следовательно:
(1/2) * AC * BC = 18,
AC * BC = 36.
3. Из условия задачи sin(A) = 0,8, можем найти cos(A):
cos(A) = sqrt(1 - sin^2(A)) = sqrt(1 - 0,8^2) = sqrt(1 - 0,64) = sqrt(0,36) = 0,6.
4. Теперь выражаем стороны треугольника через синусы и косинусы угла A:
AC = AB * sin(A) = AB * 0,8,
BC = AB * cos(A) = AB * 0,6.
5. Подставим значения в уравнение для площади:
(AB * 0,8) * (AB * 0,6) = 36,
0,48 * AB² = 36,
AB² = 36 / 0,48,
AB² = 75,
AB = sqrt(75) = 5√3.
6. Найдем длины катетов:
AC = AB * sin(A) = 5√3 * 0,8 = 4√3,
BC = AB * cos(A) = 5√3 * 0,6 = 3√3.
7. Для нахождения площадей треугольников СВК и АВК воспользуемся соотношением площадей, которое связано с биссектрисой. Площадь треугольника делится в отношении сторон, на которые делит биссектрису.
8. Обозначим стороны AB и AC как a и b соответственно:
a = 5√3, b = 4√3.
9. Тогда площади треугольников СВК и АВК будут относиться как AC : BC.
Площадь треугольника СВК будет равна:
S_SBK = S_ABC * (BC / (AC + BC)) = 18 * (3√3 / (4√3 + 3√3)) = 18 * (3 / 7) = 54/7.
10. Площадь треугольника АВК будет равна:
S_ABK = S_ABC * (AC / (AC + BC)) = 18 * (4√3 / (4√3 + 3√3)) = 18 * (4 / 7) = 72/7.
ответ:
площадь треугольника СВК составляет 54/7 м², площадь треугольника АВК составляет 72/7 м².