Дано:
- Треугольник ABC.
- Вписанная окружность касается сторон AB, AC и BC в точках M, K и P соответственно.
- Длина стороны AC равна 18.
Найти:
- Длину стороны AB.
Решение:
1. Обозначим длины сторон:
- AB = c
- AC = b = 18
- BC = a
2. Пусть точки касания окружности с сторонами треугольника обозначаются следующим образом:
- BM = s - a
- AM = s - b
- CP = s - c
где s — полупериметр треугольника ABC, определяемый как:
s = (a + b + c) / 2.
3. Из свойства вписанной окружности следует, что:
AM + BM = AB,
AC = AK + KC = b.
4. Запишем уравнения для сторон:
AM = s - b,
BM = s - a.
5. Тогда:
AB = AM + BM = (s - b) + (s - a) = 2s - a - b.
6. Подставляем значение b:
AB = 2s - a - 18.
7. Также знаем, что:
s = (a + b + c) / 2.
Подставим значение b:
s = (a + 18 + c) / 2.
8. Подставим s в уравнение для AB:
AB = 2 * (a + 18 + c) / 2 - a - 18
= a + 18 + c - a - 18
= c.
Таким образом, длина стороны AB равна длине стороны AC.
Ответ:
Длина стороны AB равна 18.