Дано:
- Диаметр AB пересекает хорду CD в точке K, где K — середина хорды.
- Угол ∠BAD = 40°.
Найти:
- Углы треугольника CAD: ∠CAD и ∠CDA.
Решение:
1. Угол, образованный радиусом и хордой, равен половине угла, заключенного между продолжениями этой хорды. Таким образом,
∠CAK = 1/2 * ∠CAB.
2. Так как K — середина хорды, то хорда CD разбивается на два равных отрезка: CK = DK.
3. Угол ∠CAB можно выразить через угол ∠BAD:
∠CAB = ∠BAD = 40°.
4. Теперь найдем угол ∠CAK:
∠CAK = 1/2 * ∠CAB = 1/2 * 40° = 20°.
5. В треугольнике CAD сумма углов равна 180°. Обозначим угол ∠CAD как x. Угол ∠CDA будет равен углу ∠CAK, то есть ∠CDA = 20°. Теперь можем записать:
x + 20° + ∠ADC = 180°.
6. Угол ∠ADC равен углу ∠BAD, так как они опираются на одну и ту же дугу:
∠ADC = ∠BAD = 40°.
7. Подставим найденные углы в уравнение:
x + 20° + 40° = 180°.
8. Упростим уравнение:
x + 60° = 180°.
x = 180° - 60° = 120°.
Таким образом, угол ∠CAD равен 120°.
Ответ:
Угол ∠CAD = 120°, угол ∠CDA = 20°.