Дано: На плоскости отмечено 10 точек, соединенных попарно отрезками.
Найти: Может ли прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек, пересекать ровно 20 отрезков?
Решение с подробными расчетами по имеющимся данным:
Общее количество отрезков, которое можно получить, соединяя 10 точек попарно, равно числу сочетаний из 10 по 2, то есть C(10,2) = 45.
Предположим, что прямая пересекает ровно 20 отрезков. Представим, что на этой прямой лежат 2 точки (их можно выбрать C(10,2) способами), обозначим их как A и B. Также предположим, что эти две точки делят остальные 8 точек пополам (через них проходит ось симметрии).
Теперь рассмотрим каждую из получившихся половинок точек. Каждая из них содержит 4 точки, и мы можем провести 6 отрезков между ними. Всего для обеих половинок мы можем провести 12 отрезков.
Итак, учитывая 2 отрезка AB и 12 отрезков внутри каждой половинки, общее количество пересекаемых отрезков составит 14, что меньше 20.
Следовательно, прямая, не проходящая ни через одну из отмеченных точек, не может пересекать ровно 20 отрезков.
Ответ: Прямая, не проходящая через ни одну из отмеченных точек, не может пересечь ровно 20 отрезков.