Дано: На прямолинейной дороге из избы А в избу В расположены избы С и D.
Найти: Место на дороге, где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до всех четырех изб была наименьшей.
Решение с подробными расчетами:
Обозначим положения изб А, B, C и D на дороге. Пусть x - это расстояние от избы A до места, где нужно построить колодец, y - расстояние от избы B, z - расстояние от избы C, w - расстояние от избы D.
Сумма расстояний от колодца до всех четырех изб будет равна S = |x - A| + |y - B| + |z - C| + |w - D|.
Для определения места, где сумма расстояний будет минимальной, найдем производные по x, y, z, w и приравняем их к нулю:
dS/dx = (x - A)/|x - A| = 0,
dS/dy = (y - B)/|y - B| = 0,
dS/dz = (z - C)/|z - C| = 0,
dS/dw = (w - D)/|w - D| = 0.
Из этих уравнений получаем, что x должно быть равно A, y должно быть равно B, z должно быть равно C, w должно быть равно D.
Следовательно, колодец нужно построить в точке, где находится третья изба C.
Ответ: Место на дороге, где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до всех четырех изб была наименьшей, - перед третьей избой C.