Дано: В треугольнике ABC биссектриса BK равна стороне AB. На продолжении отрезка BK за точку K отмечена точка L так, что угол BAK + угол BAL = 180°.
Найти: Доказать, что BL = BC.
Решение:
Поскольку BK - биссектриса угла BAC, то угол BKC = 90° + (1/2)∠BAC.
Так как BK = AB, то угол BKC = угол BCK = 90° + (1/2)∠BAC.
С другой стороны, из условия задачи у нас есть, что угол BAK + угол BAL = 180°.
Из этого следует, что угол BAK = 180° - угол BAL.
Так как угол BAK = угол LAC (так как AB = BK), то получаем, что угол LAC = 180° - угол BAL.
Значит, угол BCL = угол LAC - угол BCK = 180° - угол BAL - (90° + (1/2)∠BAC) = 90° - (1/2)∠BAC.
Но угол BCL = угол BLC (так как BL = BC).
Таким образом, получаем, что угол BLC = 90° - (1/2)∠BAC.
Так как угол BCK = 90° + (1/2)∠BAC, то угол BLC + угол BCK = 180°.
Следовательно, по свойству прямого угла BL = BC.
Ответ: Доказано, что если биссектриса BK треугольника ABC равна стороне AB, а угол BAK + угол BAL = 180°, то BL = BC.