Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Точка E на продолжении диагонали AC за точкой C, так что BE = AC.
Найти: угол AEB.
Решение:
1. Найдем длину диагонали AC:
AC = sqrt(a^2 + a^2) = a * sqrt(2).
2. Поскольку BE = AC, то BE = a * sqrt(2).
3. Установим координаты точек квадрата:
A(0, 0)
B(a, 0)
C(a, a)
D(0, a)
4. Точка E будет находиться на продолжении AC. Сначала найдем координаты точки E.
Вектор AC = C - A = (a, a) - (0, 0) = (a, a).
Удлиним вектор AC так, чтобы длина BE = AC. Точка E будет находиться на линии, проходящей через A и C, и будет иметь координаты E = (a + k, a + k), где k — это длина отрезка CE.
5. Используя длину BE = a * sqrt(2), запишем уравнение для BE:
BE = sqrt((a - (a + k))^2 + (0 - (a + k))^2) = a * sqrt(2).
Упростим:
BE = sqrt((-k)^2 + (-a - k)^2) = a * sqrt(2),
(-k)^2 + (-a - k)^2 = a^2 * 2.
6. Раскроем скобки:
k^2 + (a + k)^2 = 2a^2,
k^2 + (a^2 + 2ak + k^2) = 2a^2,
2k^2 + 2ak + a^2 = 2a^2,
2k^2 + 2ak - a^2 = 0.
7. Упростим:
k^2 + ak - a^2/2 = 0.
8. Найдем угол AEB с помощью косинуса:
cos(AEB) = (AB^2 + AE^2 - BE^2) / (2 * AB * AE).
Длину AB:
AB = a.
Найдем длину AE:
AE = sqrt((a + k - 0)^2 + (a + k - 0)^2) = sqrt(2*(a + k)^2).
9. Теперь подставим:
cos(AEB) = (a^2 + 2(a + k)^2 - 2a^2) / (2 * a * sqrt(2 * (a + k)^2)).
10. Найдем угол AEB, используя арккосинус. Однако, поскольку задача требует только угла, мы можем использовать свойства треугольника и геометрические соотношения.
Ответ:
Угол AEB равен 45°.