Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Точка M на диагонали AC так, что AM = 3CM.
- Точка O — середина стороны AB.
Найти: угол DMO.
Решение:
1. Установим координаты точек квадрата:
A(0, 0)
B(a, 0)
C(a, a)
D(0, a)
2. Точка O, являющаяся серединой AB, имеет координаты O(a/2, 0).
3. На диагонали AC точка M делит отрезок AC в отношении 3:1. Найдем координаты M:
Координаты C(a, a), следовательно,
M = (3C + A) / 4 = (3(a, a) + (0, 0)) / 4 = (3a/4, 3a/4).
4. Теперь найдем векторы DM и MO:
DM = M - D = (3a/4, 3a/4) - (0, a) = (3a/4, 3a/4 - a) = (3a/4, -a/4).
MO = O - M = (a/2, 0) - (3a/4, 3a/4) = (a/2 - 3a/4, 0 - 3a/4) = (-a/4, -3a/4).
5. Найдем угол DMO, используя скалярное произведение:
cos(угол DMO) = (DM * MO) / (|DM| * |MO|).
6. Сначала вычислим длины векторов:
|DM| = sqrt((3a/4)^2 + (-a/4)^2) = sqrt(9a^2/16 + a^2/16) = sqrt(10a^2/16) = (a/4)sqrt(10).
|MO| = sqrt((-a/4)^2 + (-3a/4)^2) = sqrt(a^2/16 + 9a^2/16) = sqrt(10a^2/16) = (a/4)sqrt(10).
7. Теперь найдем скалярное произведение:
DM * MO = (3a/4)(-a/4) + (-a/4)(-3a/4) = -3a^2/16 + 3a^2/16 = 0.
8. Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы DM и MO перпендикулярны.
Ответ:
Угол DMO равен 90 градусов.