Question

На стороне АС равностороннего треугольника ABC отмечена точка М, а на продолжении стороны ВС за точку С отмечена точка N так, что MB = MN. Докажите, что AM = CN.

Answer 1

Дано:  
ABC - равносторонний треугольник, MB = MN.

Найти и доказать:  
AM = CN.

Решение:  
Так как треугольник ABC равносторонний, то AC = AB.

Из условия MB = MN следует, что треугольник MBN равнобедренный.

Проведем медиану MP в треугольнике MBN, где P - середина стороны BN. Так как MB = MN, то угол MPB равен углу MPN.

Также, угол MPB равен углу NPB (как уголы при основании равнобедренного треугольника MBN).

Получаем, что угол MPN равен углу NPB.

Рассмотрим треугольники AMP и CNP:
1. Угол AMP равен углу CPN (как вертикальные углы).
2. Угол MPN равен углу NPB (доказано выше).
3. Сторона AM равна стороне CN (так как это медианы в равнобедренных треугольниках).

Таким образом, по двум сторонам и углу треугольники AMP и CNP равны.

Следовательно, AM = CN.

Ответ:  
AM = CN.