Question

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны АВ и АС в точках М и N, отличных от точки А. Докажите, что AM = AN.

Answer 1

Дано:
Треугольник ABC, биссектрисa AD, окружность, построенная на AD как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно.

Найти:
Доказать, что AM = AN.

Решение:

1. По свойству биссектрисы, угол BAD равен углу CAD. Обозначим его как α.

2. Угол AMB и угол ANB равны 90 градусов, так как они опираются на диаметр AD.

3. Рассмотрим треугольники AMB и ANB. В них угол AMB = угол ANB = 90 градусов и угол AMB = угол ANB = α.

4. По признаку равенства треугольников (угол-угол-угол) получаем, что треугольники AMB и ANB равны.

5. Следовательно, AM = AN, так как соответствующие стороны равных треугольников равны.

Ответ:
AM = AN.