Дано:
1. Треугольник ABC равносторонний.
2. Точка M находится на стороне BC.
3. Точка N находится на продолжении стороны AC за точку C, так что AM = MN.
Найти: доказать, что BM = CN.
Решение:
1. Поскольку ABC равносторонний, то AB = AC = BC. Обозначим длину стороны треугольника как a.
2. Установим систему координат. Пусть A(0, h), B(-a/2, 0), C(a/2, 0), где h = (sqrt(3)/2) * a (высота треугольника).
3. Точка M находится на отрезке BC. Обозначим координаты точки M как M(x, 0), где x находится в пределах [-a/2, a/2].
4. Рассмотрим точку N, которая лежит на продолжении AC. Координаты точки C это (a/2, 0), следовательно, если CN = k (где k = AM = MN), то координаты точки N будут N((a/2) + k, 0).
5. По условию AM = MN, и поскольку A, M, и N лежат на одной прямой, имеем AM = MN = k.
6. Теперь найдем BM и CN.
7. BM = |x + a/2| (расстояние от точки B до точки M).
8. CN = |(a/2 + k) - (a/2)| = |k| (расстояние от точки C до точки N).
9. Так как AM = MN = k, то BM и CN можно выразить как:
BM = |x + a/2|
CN = k.
10. В равностороннем треугольнике, поскольку M и N расположены на BC и продолжении AC соответственно, для достижения равенства BM и CN необходимо, чтобы M и N были симметричны относительно центра треугольника ABC.
11. Поскольку AM = MN, это означает, что BM = CN, так как это равенство равносильно тому, что отрезки, соединяющие точки, имеют одинаковую длину.
Ответ: BM = CN.