Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- Высота h, проведенная к основанию BC, делится центром вписанной окружности на отрезки длиной 5 см (от вершины до центра) и 3 см (от центра до основания).
- Длина всей высоты h = 5 см + 3 см = 8 см.
Найти:
- Длины сторон треугольника.
Решение:
1. Обозначим боковые стороны треугольника как AB = AC = b, основание BC = 2a.
2. Центр вписанной окружности делит высоту на два отрезка в отношении 5:3. Это отношение связано с полупериметром треугольника.
3. Полупериметр треугольника можно выразить как:
P = (AB + AB + BC) / 2 = (2b + 2a) / 2 = b + a.
4. С помощью формулы для отношения отрезков высоты, деленной на центр вписанной окружности, имеем следующее:
5 / 3 = (P - a) / (P - b).
Подставим P = b + a:
5 / 3 = (b + a - a) / (b + a - b) = b / a.
Отсюда b = (5/3) * a.
5. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой h, половиной основания (a) и боковой стороной (b):
b² = a² + h².
Подставим h = 8 см и b = (5/3) * a:
((5/3) * a)² = a² + 8².
25/9 * a² = a² + 64.
6. Умножим обе части уравнения на 9:
25a² = 9a² + 576.
7. Переносим все на одну сторону:
25a² - 9a² = 576.
16a² = 576.
8. Разделим на 16:
a² = 36.
a = 6 см.
9. Теперь, зная a, найдем b:
b = (5/3) * a = (5/3) * 6 = 10 см.
Ответ:
- Длина основания BC = 2a = 2 * 6 = 12 см.
- Длина боковых сторон AB = AC = 10 см.