дано:
- сумма катетов прямоугольного треугольника a + b = √2.
найти:
- расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата, построенного на гипотенузе.
решение:
1. Обозначим катеты треугольника как a и b. Поскольку a + b = √2, можно выразить b через a:
b = √2 - a.
2. Найдем гипотенузу c, используя теорему Пифагора:
c = √(a² + b²) = √(a² + (√2 - a)²).
3. Раскроем скобки:
c = √(a² + (√2)² - 2 * a * √2 + a²) = √(2a² - 2a√2 + 2).
4. Упростим:
c = √(2(a² - a√2 + 1)) = √2 * √(a² - a√2 + 1).
5. Теперь найдем координаты центра квадрата, построенного на гипотенузе. Центр квадрата находится на середине гипотенузы:
c / 2 = (1/2) * √(a² + b²) = (1/2) * c.
6. Поскольку квадрат построен на гипотенузе, его стороны перпендикулярны гипотенузе. Расстояние от вершины прямого угла (точка A) до центра квадрата можно выразить как:
D = c / 2 * √2 / 2 = (c * √2) / 4.
7. Подставим значение c:
D = (√2 * √(2(a² - a√2 + 1))) / 4 = (√(2 * 2(a² - a√2 + 1))) / 4 = (√(4(a² - a√2 + 1))) / 4.
8. Упростим:
D = (2√(a² - a√2 + 1)) / 4 = (√(a² - a√2 + 1)) / 2.
9. Теперь подберем значение для a, чтобы найти расстояние D. Сложим два катета, например, a = 1 и b = 1:
a = 1, b = 1.
10. Считаем D:
D = (1/2) * √(1² - 1√2 + 1) = (1/2) * √(2 - √2).
ответ:
- Расстояние от вершины прямого угла до центра квадрата, построенного на гипотенузе, равно D = (√(2 - √2)) / 2.