Дано:
- Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен √2 - 1 см.
- Треугольник равнобедренный прямоугольный.
Найти:
- Длину высоты, проведенной к основанию треугольника.
Решение:
1. Пусть длина равных катетов треугольника будет равна а, а основание - b.
2. В прямоугольном треугольнике с катетами а и гипотенузой b, радиус вписанной окружности r можно выразить через катеты и гипотенузу по формуле:
r = (a + b - c) / 2, где c — гипотенуза треугольника.
В нашем случае гипотенуза c = √(a² + a²) = √2 * a, так как треугольник прямоугольный и равнобедренный.
3. Подставим значение гипотенузы в формулу для радиуса:
r = (a + b - √2 * a) / 2.
4. Поскольку треугольник равнобедренный прямоугольный, то основание b = a, и получаем:
r = (a + a - √2 * a) / 2 = (2a - √2 * a) / 2 = a(2 - √2) / 2.
5. Из условия задачи r = √2 - 1, подставим это значение в выражение для r:
a(2 - √2) / 2 = √2 - 1.
6. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
a(2 - √2) = 2(√2 - 1).
7. Раскроем скобки:
a(2 - √2) = 2√2 - 2.
8. Разделим обе части на (2 - √2):
a = (2√2 - 2) / (2 - √2).
9. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 + √2):
a = (2√2 - 2)(2 + √2) / ((2 - √2)(2 + √2)).
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
a = (2√2 - 2)(2 + √2) / (4 - 2).
a = (2√2 - 2)(2 + √2) / 2.
10. Раскроем скобки в числителе:
a = (2√2 * 2 + 2√2 * √2 - 2 * 2 - 2 * √2) / 2
= (4√2 + 4 - 4 - 2√2) / 2
= (2√2) / 2
= √2.
11. Таким образом, длина катета a = √2.
12. Теперь найдём высоту, проведённую к основанию. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит основание пополам. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
1) Через катеты: S = (1/2) * a * a = (1/2) * √2 * √2 = 1.
2) Через основание и высоту: S = (1/2) * b * h = (1/2) * a * h, так как b = a.
Приравняем два выражения для площади:
(1/2) * a * h = 1,
(1/2) * √2 * h = 1.
13. Решим относительно h:
√2 * h = 2,
h = 2 / √2 = √2.
Ответ: Высота, проведенная к основанию, равна √2 см.