Дано:
Точки:
A (1; 0; 0)
B (0; 1; 0)
C (0; 0; 1)
Плоскость: xy = 0 (плоскость, где z = 0)
Расстояние до плоскости: 2
Найти:
Точку P (x, y, z), равноудалённую от точек A, B и C, и находящуюся на расстоянии 2 от плоскости xy.
Решение:
1. Определим координаты точки P. Поскольку расстояние от точки до плоскости z = 0 равно 2, то z может быть равным 2 или -2. Мы рассмотрим оба случая.
2. Рассмотрим случай z = 2:
Точка P имеет вид (x, y, 2). Найдем расстояния от P до каждой из точек A, B и C:
Расстояние PA:
d_PA = sqrt((x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (2 - 0)^2)
= sqrt((x - 1)^2 + y^2 + 4)
Расстояние PB:
d_PB = sqrt((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (2 - 0)^2)
= sqrt(x^2 + (y - 1)^2 + 4)
Расстояние PC:
d_PC = sqrt((x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (2 - 1)^2)
= sqrt(x^2 + y^2 + 1)
3. Поскольку d_PA = d_PB = d_PC, приравняем d_PA и d_PB:
sqrt((x - 1)^2 + y^2 + 4) = sqrt(x^2 + (y - 1)^2 + 4)
Квадратим обе стороны:
(x - 1)^2 + y^2 + 4 = x^2 + (y - 1)^2 + 4
Сокращаем 4:
(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2
Раскрываем скобки:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1
Сокращаем x^2 и y^2:
-2x = -2y
x = y
Теперь подставим x = y в уравнение PA и PC:
d_PA = sqrt((x - 1)^2 + x^2 + 4)
d_PC = sqrt(x^2 + x^2 + 1)
Приравняем d_PA и d_PC:
sqrt((x - 1)^2 + x^2 + 4) = sqrt(2x^2 + 1)
Квадратим обе стороны:
(x - 1)^2 + x^2 + 4 = 2x^2 + 1
Раскрываем:
x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4 = 2x^2 + 1
Сокращаем:
-2x + 5 = 1
Переносим:
-2x = -4
x = 2
4. Теперь мы знаем, что x = y = 2 и z = 2. Таким образом, первая точка P будет (2; 2; 2).
Теперь рассмотрим случай z = -2:
Так же, как и ранее, точка P будет записываться как (x, y, -2). Повторим аналогичные шаги для нахождения значений x и y.
Расстояния будут:
d_PA = sqrt((x - 1)^2 + y^2 + 4)
d_PB = sqrt(x^2 + (y - 1)^2 + 4)
d_PC = sqrt(x^2 + y^2 + 1)
Аналогично приравнивая d_PA и d_PB, а затем d_PA и d_PC, получаем:
x = y
Подставляем x = y:
sqrt((x - 1)^2 + x^2 + 4) = sqrt(2x^2 + 1)
Здесь также получаем, что x = 2, но так как z = -2, координаты точки P будут (2; 2; -2).
Ответ:
Точки, равноудалённые от A, B и C, на расстоянии 2 от плоскости xy: P1 (2; 2; 2) и P2 (2; 2; -2).