Дано:
Вершины треугольника:
A (0; 1; 2),
B (-2; -1; 0),
C (1; 0; 1).
Необходимо определить, каким треугольником является данный треугольник: остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.
Решение:
Для того, чтобы определить, каким углом является треугольник, необходимо вычислить его стороны и затем проверить их скалярные произведения. Треугольник будет:
- прямоугольным, если одно из скалярных произведений двух сторон равно нулю,
- остроугольным, если все скалярные произведения сторон положительные,
- тупоугольным, если хотя бы одно скалярное произведение отрицательное.
1. Вычислим длины сторон треугольника:
Сторона AB:
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²]
AB = √[(-2 - 0)² + (-1 - 1)² + (0 - 2)²] = √[4 + 4 + 4] = √12 = 2√3.
Сторона BC:
BC = √[(xC - xB)² + (yC - yB)² + (zC - zB)²]
BC = √[(1 - (-2))² + (0 - (-1))² + (1 - 0)²] = √[9 + 1 + 1] = √11.
Сторона CA:
CA = √[(xC - xA)² + (yC - yA)² + (zC - zA)²]
CA = √[(1 - 0)² + (0 - 1)² + (1 - 2)²] = √[1 + 1 + 1] = √3.
2. Вычислим скалярные произведения сторон:
Скалярное произведение векторов AB и BC:
AB = (-2; -1; 0) - (0; 1; 2) = (-2; -1; 0)
BC = (1; 0; 1) - (-2; -1; 0) = (3; 1; 1)
AB * BC = (-2 * 3) + (-1 * 1) + (0 * 1) = -6 - 1 + 0 = -7
Скалярное произведение векторов BC и CA:
BC = (3; 1; 1)
CA = (1; -1; -1)
BC * CA = (3 * 1) + (1 * -1) + (1 * -1) = 3 - 1 - 1 = 1
Скалярное произведение векторов CA и AB:
CA = (1; -1; -1)
AB = (-2; -1; 0)
CA * AB = (1 * -2) + (-1 * -1) + (-1 * 0) = -2 + 1 + 0 = -1
3. Анализируем результат:
- Скалярное произведение AB * BC = -7 (отрицательное),
- Скалярное произведение BC * CA = 1 (положительное),
- Скалярное произведение CA * AB = -1 (отрицательное).
Поскольку два скалярных произведения отрицательные, это указывает на наличие тупого угла в треугольнике.
Ответ: треугольник является тупоугольным.