Дано:
- Образующая конуса равна a.
- Угол в осевом сечении при вершине конуса равен α.
Найти:
1) площадь осевого сечения конуса S_ос.
2) площадь боковой поверхности конуса S_б.
Решение:
1) Для нахождения площади осевого сечения конуса, которое является равнобедренным треугольником, используем формулу:
S_ос = (1/2) * a * h,
где a — основание треугольника, а h — высота.
2) Чтобы найти высоту h через образующую a и угол α, используем соотношение:
h = a * cos(α).
3) Подставим значение высоты в формулу для площади осевого сечения. Основание треугольника в осевом сечении будет равно 2 * r, где r можно выразить как:
r = a * sin(α).
4) Поэтому основание будет:
a = 2 * (a * sin(α)) = 2a * sin(α).
5) Теперь подставляем значения в формулу для площади осевого сечения:
S_ос = (1/2) * (2a * sin(α)) * (a * cos(α)) = a² * sin(α) * cos(α).
6) Площадь осевого сечения:
S_ос = a² * sin(α) * cos(α).
7) Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу:
S_б = π * r * l,
где l — образующая конуса, которая равна a.
8) Мы уже нашли радиус r:
r = a * sin(α).
9) Теперь можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_б = π * (a * sin(α)) * a = π * a² * sin(α).
Ответ:
1) Площадь осевого сечения конуса равна a² * sin(α) * cos(α).
2) Площадь боковой поверхности конуса равна π * a² * sin(α).