Дано:
- Гипотенуза треугольника c = 8 см.
- Один из углов α = 30°.
Найти:
Площадь боковой поверхности образовавшегося конуса S_б.
Решение:
1) В прямоугольном треугольнике с углом 30° можно определить длину катетов через гипотенузу.
По свойствам треугольника:
- меньший катет (против угла 30°) равен:
a = c * sin(30°) = 8 * 0.5 = 4 см.
- больший катет (прилежит к углу 30°) равен:
b = c * cos(30°) = 8 * (sqrt(3)/2) ≈ 8 * 0.866 = 6.928 см.
2) При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета b, образуется конус.
Радиус основания конуса r равен меньшему катету a:
r = 4 см.
3) Высота конуса h равна большему катету b:
h ≈ 6.928 см.
4) Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу:
S_б = π * r * l,
где l — образующая конуса.
5) Образующую l можно найти по теореме Пифагора:
l = sqrt(r² + h²).
6) Подставляем значения радиуса и высоты:
l = sqrt(4² + (6.928)²) = sqrt(16 + 48) = sqrt(64) = 8 см.
7) Теперь подставляем значения в формулу для площади боковой поверхности:
S_б = π * r * l = π * 4 * 8.
8) Вычислим площадь:
S_б = 32π см².
9) Принимая π ≈ 3.14, вычислим:
S_б ≈ 32 * 3.14 ≈ 100.48 см².
Ответ:
Площадь боковой поверхности образовавшегося конуса приблизительно равна 100.48 см².