Дано:
1. Радиус вписанного шара (R).
2. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания (β) = 45°.
Найти:
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды (S_b).
Решение:
1. Двугранный угол 45° указывает на то, что высота наклонного ребра (h) равна длине радиуса R, то есть:
h = R.
2. Для нахождения площади боковой поверхности усечённой пирамиды используем формулу для площади боковых граней. Площадь боковой поверхности (S_b) усечённой пирамиды равна сумме площадей боковых граней, каждая из которых является трапецией.
3. Периметры оснований обозначим как P1 и P2.
4. Площадь боковой поверхности можно выразить следующим образом:
S_b = (P1 + P2) * h / 2.
5. Поскольку основание усечённой пирамиды — квадрат, можно выразить периметры оснований через сторону:
P1 = 4a1 (большее основание),
P2 = 4a2 (меньшее основание).
Однако, так как у нас нет конкретных значений сторон оснований, можно использовать отношение радиусов и высоты для получения:
S_b = (4 * (a1 + a2) * h) / 2.
6. Подставим h = R и упростим:
S_b = 2 * (a1 + a2) * R.
7. Для нахождения a1 и a2 можно использовать соотношение с радиусом вписанного шара. Для правильной четырехугольной усечённой пирамиды можно использовать формулу:
R = h * tan(β).
Поскольку β = 45°, tan(45°) = 1, то:
R = h, откуда h = R.
8. Таким образом, окончательную формулу можно записать как:
S_b = 2 * (a1 + a2) * R.
Ответ:
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна 2 * (a1 + a2) * R.