Дано:
1. Диагональ параллелепипеда (d) = 12 см.
2. Угол между диагональю и плоскостью основания (α) = 30°.
3. Угол между диагональю основания и одной из сторон (β) = 60°.
Найти:
Объём параллелепипеда (V).
Решение:
1. Объём параллелепипеда вычисляется по формуле:
V = a * b * h,
где a, b — стороны основания, h — высота.
2. Сначала найдём высоту параллелепипеда (h) с использованием диагонали и угла α:
h = d * sin(α).
3. Подставим значения:
h = 12 * sin(30°).
4. Зная, что sin(30°) = 0.5:
h = 12 * 0.5 = 6 см.
5. Теперь найдем длины сторон основания. Используем диагональ основания (d_base) и угол β:
d_base = d * cos(α) = 12 * cos(30°).
6. Вычислим cos(30°):
cos(30°) = √3 / 2.
7. Подставим:
d_base = 12 * (√3 / 2) = 6√3 см.
8. Поскольку угол между диагональю основания и одной из сторон равен 60°, используем тригонометрические функции:
a = d_base * cos(60°) = 6√3 * 0.5 = 3√3 см.
b = d_base * sin(60°) = 6√3 * (√3 / 2) = 9 см.
9. Теперь можем найти объём параллелепипеда:
V = a * b * h = (3√3) * 9 * 6.
10. Упростим:
V = 162√3 см³.
Ответ:
Объём параллелепипеда равен 162√3 см³.