Дано:
- Радиус меньшего основания r1 = 8 см,
- Радиус большего основания r2 = 14 см,
- Угол между образующей и плоскостью большего основания α = 45°.
Найти: объём усечённого конуса.
Решение:
1. Формула для объёма усечённого конуса:
V = (1/3) * π * h * (r1² + r1 * r2 + r2²),
где h — высота усечённого конуса, r1 и r2 — радиусы оснований.
2. Для того чтобы найти высоту h, используем угол α. Угол между образующей и плоскостью большего основания даёт нам информацию о том, как связаны высота и радиусы оснований. Мы можем найти высоту с помощью следующей формулы:
tan(α) = (r2 - r1) / h.
Подставляем данные:
tan(45°) = (14 - 8) / h
1 = 6 / h
h = 6 см.
3. Теперь, зная высоту, можно найти объём по формуле:
V = (1/3) * π * 6 * (8² + 8 * 14 + 14²)
V = (1/3) * π * 6 * (64 + 112 + 196)
V = (1/3) * π * 6 * 372
V = (1/3) * π * 2232
V = 744π см³.
Ответ: объём усечённого конуса V ≈ 2337,76 см³ (с использованием π ≈ 3,1416).