Дано:
- Площадь первого сечения S1 = 9π см².
- Площадь второго сечения S2 = 25π см².
- Расстояние между плоскостями сечений h = 8 см.
Найти:
- Площадь поверхности шара S.
Решение:
1. Площадь сечения шара можно выразить через радиус окружности этого сечения:
S = π * r².
2. Найдем радиусы сечений для обоих значений площадей:
Для первого сечения:
S1 = π * r1²,
9π = π * r1²,
9 = r1²,
r1 = √9 = 3 см.
Для второго сечения:
S2 = π * r2²,
25π = π * r2²,
25 = r2²,
r2 = √25 = 5 см.
3. Обозначим расстояния от центра шара до каждой из плоскостей сечений как d1 и d2. Так как плоскости сечений расположены по разные стороны от центра, то имеем:
d1 + d2 = h = 8 см.
4. Также знаем, что радиусы сечений и расстояния от центра связаны по следующим формулам:
R² = d1² + r1²,
R² = d2² + r2²,
где R — радиус шара.
5. Подставим выражения для d1 и d2 в уравнение:
d1 = h - d2,
d1 = 8 - d2.
6. Теперь подставим d1 в первую формулу:
R² = (8 - d2)² + r1²,
R² = (8 - d2)² + 3²,
R² = (8 - d2)² + 9.
7. Подставим d2 во вторую формулу:
R² = d2² + r2²,
R² = d2² + 5²,
R² = d2² + 25.
8. Теперь приравняем оба выражения для R²:
(8 - d2)² + 9 = d2² + 25.
9. Раскроем скобки:
64 - 16d2 + d2² + 9 = d2² + 25.
10. Упростим уравнение:
73 - 16d2 = 25,
48 = 16d2,
d2 = 48 / 16,
d2 = 3 см.
11. Теперь найдем d1:
d1 = 8 - d2 = 8 - 3 = 5 см.
12. Теперь можем найти R:
R² = d1² + r1² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34,
R = √34 см.
13. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:
S = 4 * π * R².
14. Подставим значение R:
S = 4 * π * (√34)² = 4 * π * 34 = 136π см².
Ответ:
Площадь поверхности шара равна 136π см².