Дано:
Уравнения плоскостей:
1) 3x - 2y + z - 6 = 0,
2) 2x - 3y + az + 2 = 0.
Найти: значение параметра a, при котором плоскости перпендикулярны.
Решение:
1. Для того чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормали должны быть перпендикулярны.
Нормали к плоскостям можно найти как коэффициенты при x, y и z в уравнениях плоскостей.
Нормаль к первой плоскости:
n1 = (3; -2; 1).
Нормаль ко второй плоскости:
n2 = (2; -3; a).
2. Для перпендикулярности векторов n1 и n2 необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Скалярное произведение двух векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) рассчитывается по формуле:
x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = 0.
3. Подставляем компоненты нормалей в эту формулу:
(3) * (2) + (-2) * (-3) + (1) * (a) = 0.
4. Упростим:
6 + 6 + a = 0,
12 + a = 0.
5. Решаем относительно a:
a = -12.
Ответ: Значение параметра a, при котором плоскости перпендикулярны, равно -12.