Дано:
- Трапеция ABCD, продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке F.
- AB : BF = 3 : 7.
- AD — большее основание трапеции.
- Разность оснований трапеции равна 6 см.
Найти: основание AD.
Решение:
1. Пусть AB = 3x, а BF = 7x. Тогда длина всей стороны AF, которая является продолжением AB и BF, равна:
AF = AB + BF = 3x + 7x = 10x.
2. Пусть длина большего основания трапеции AD = y, а меньшего основания BC = y - 6 (так как разность оснований трапеции равна 6 см).
3. Теперь применим теорему о пропорциональности отрезков, которая гласит, что если продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке F, то отрезки на этих сторонах пропорциональны основаниям трапеции. То есть:
AB / BF = AD / BC.
Подставим известные выражения для AB, BF, AD и BC:
(3x) / (7x) = y / (y - 6).
4. Упростим это выражение:
3 / 7 = y / (y - 6).
5. Теперь решим это пропорциональное уравнение. Перемножим крест-накрест:
3(y - 6) = 7y.
6. Раскроем скобки:
3y - 18 = 7y.
7. Переносим все выражения с y в одну сторону:
7y - 3y = 18.
8. Получаем:
4y = 18.
9. Разделим обе части уравнения на 4:
y = 18 / 4 = 4.5 см.
Ответ: основание AD = 4.5 см.