Дано:
1. Периметр параллелограмма P = 52 см.
2. Острый угол α = 45°.
3. Биссектриса тупого угла делит сторону в отношении 3 : 7.
Найти:
Площадь параллелограмма.
Решение:
1. Сначала найдем стороны параллелограмма. Периметр P можно выразить через стороны a и b:
P = 2(a + b).
Подставим известное значение:
52 = 2(a + b).
a + b = 26 см.
2. Поскольку биссектриса делит сторону в отношении 3 : 7, обозначим сторону, к которой проведена биссектрисa, как x. Тогда:
3/10 * x + 7/10 * x = x, где x — полная длина стороны.
Это означает, что длина стороны, от которой отчитывается биссектриса, составляет 10 разделенных на 3 части (3 части от одной стороны и 7 от другой).
3. Используя свойства параллелограмма, можем записать:
x = a или b. Обозначим сторону a как 3k и сторону b как 7k. Тогда:
3k + 7k = 26,
10k = 26,
k = 2.6.
4. Теперь найдем длины сторон:
a = 3k = 3 * 2.6 = 7.8 см,
b = 7k = 7 * 2.6 = 18.2 см.
5. Теперь найдем площадь S параллелограмма, используя формулу:
S = a * h, где h — высота.
6. Высоту h можно найти через сторону b и угол α:
h = b * sin(α).
Подставим значения:
h = 18.2 * sin(45°) = 18.2 * √2 / 2 ≈ 18.2 * 0.7071 ≈ 12.87 см.
7. Теперь найдем площадь:
S = a * h = 7.8 * 12.87 ≈ 100.34 см².
Ответ:
Площадь параллелограмма примерно равна 100.34 см².