Дано:
1. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен R.
2. Один из углов трапеции равен 45°.
Найти:
Площадь трапеции.
Решение:
1. В равнобокой трапеции с вписанной окружностью сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим основания как a (большее) и b (меньшее), а боковые стороны как c.
2. Для равнобокой трапеции с углом 45° можно выразить боковые стороны через радиус вписанной окружности. Формула для радиуса R вписанной окружности равнобокой трапеции:
R = h * (a + b) / (2 * (a - b)),
где h — высота трапеции.
3. В равнобокой трапеции с углом 45° высота h можно выразить через боковую сторону c:
h = c * sin(45°) = c * √2 / 2.
4. Для равнобокой трапеции также выполняется:
c = (a - b) / (2 * tan(θ)),
где θ — угол.
5. Подставляем значение угла θ = 45°:
c = (a - b) / (2 * 1) = (a - b) / 2.
6. Теперь выразим h через R:
R = (c * √2 / 2 * (a + b)) / (2 * (a - b)).
7. Подставим c = (a - b) / 2:
R = (((a - b) / 2) * √2 / 2 * (a + b)) / (2 * (a - b)).
Упрощаем:
R = (√2 * (a + b)) / 8.
8. Площадь S трапеции можно выразить через основания и высоту:
S = ((a + b) / 2) * h.
9. Подставим h:
S = ((a + b) / 2) * (c * √2 / 2).
10. Теперь подставим c:
S = ((a + b) / 2) * (((a - b) / 2) * √2 / 2).
11. Упрощаем:
S = ((a + b) * (a - b) * √2) / 8.
12. Через R можно выразить основание a и b, но проще использовать известное значение R:
S = 2R * (a + b).
13. Подставляем значение R:
S = 2R * (((4R√2) / 2) = 4R².
Ответ:
Площадь трапеции равна 4R².