Question

Два сообщающихся цилиндрических сосуда заполнены жидкостью плотности р. Сосуды сверху закрыты поршнями  масс т1 и т2 > т1 так, что первоначально уровни жидкости в сосудах одинаковы. Как соотносятся площади  поперечных сечений сосудов S2/S1 ?  Если на поршень массы т1 положить грузик массы т, то уровень жидкости в другом сосуде вырастет на  величину. На какую величину АН повысится уровень жидкости при этом уменьшается объем бутыли? Ускорение  свободного падения д. Объемом соединительной трубки пренебречь.

Answer 1

дано:
ρ - плотность жидкости m1 - масса первого поршня m2 - масса второго поршня (m2 > m1) m - масса грузика h - изменение уровня жидкости во втором сосуде при добавлении грузика g - ускорение свободного падения

найти:
S2/S1 Δh

решение:

Соотношение площадей:
В начальном состоянии уровни жидкости одинаковы, значит, давления под поршнями равны:

P1 = P2

(m1g + P0S1) / S1 = (m2g + P0S2) / S2

где P0 - атмосферное давление.

Упростим, учитывая, что P0S1 и P0S2 намного меньше чем m1g и m2g :

m1g/S1 = m2g/S2

S2/S1 = m2/m1

Изменение уровня жидкости:
При добавлении грузика массой m на первый поршень, давление под ним увеличивается:

P1’ = (m1g + mg + P0S1) / S1

Давление под вторым поршнем изменится:

P2’ = (m2g + P0S2) / S2 + ρgΔh

Так как сосуды сообщающиеся, то P1’ = P2’:

(m1g + mg + P0S1)/S1 = (m2g + P0S2)/S2 + ρgΔh

Упростим, пренебрегая атмосферным давлением, относительно малых величин m1, m2 и m:

(m1 + m)g/S1 = m2g/S2 + ρgΔh

Подставим S2/S1 = m2/m1:

(m1 + m)g/S1 = (m1/m2)m2g/S1 + ρgΔh

(m1 + m)g = m1g + ρgΔhS1

Δh = mg / (ρS1)

Объем жидкости, перешедшей во второй сосуд:

V = S2Δh = (m2/m1)S1 Δh = m2(mg)/(ρm1) = m2m/(ρm1)

Изменение уровня жидкости во втором сосуде в результате уменьшения объема бутыли Δh , определяется как Δh = -V / S2

Ответ:
S2/S1 = m2/m1 Δh = mg/(ρS1) (изменение уровня во втором сосуде при добавлении грузика) Δh = -V/S2 (изменение уровня во втором сосуде из-за уменьшения объема бутыли)