дано:
Время прохождения эскалатора с первоначальной скоростью t1 = 45 с.
Время прохождения эскалатора при увеличенной скорости вдвое t2 = 25 с.
найти:
Время, за которое человек пройдет эскалатор, если сохранит первоначальную скорость, а эскалатор увеличит свою скорость вдвое.
решение:
1) Обозначим:
- v - скорость человека,
- u - скорость эскалатора,
- L - длина эскалатора.
2) При первой ситуации (t1 = 45 с):
L = v * t1 + u * t1.
3) При второй ситуации (t2 = 25 с) с удвоенной скоростью человека:
L = (2v) * t2 + u * t2.
4) Из этих уравнений получаем два выражения для длины эскалатора:
L = vt1 + ut1 (1)
L = 2vt2 + ut2 (2)
5) Приравняем оба выражения:
vt1 + ut1 = 2vt2 + ut2.
6) Перепишем уравнение и выразим u через v:
ut1 - ut2 = 2vt2 - vt1.
u(t1 - t2) = v(2t2 - t1).
u = v(2t2 - t1) / (t1 - t2).
7) Подставим значения t1 и t2:
t1 = 45, t2 = 25:
u = v(2*25 - 45) / (45 - 25).
u = v(50 - 45) / 20.
u = v*5 / 20.
u = v/4.
8) Теперь найдем длину эскалатора, подставив значение u в первое уравнение (1):
L = vt1 + ut1.
L = vt1 + (v/4) * t1.
L = vt1(1 + 1/4).
L = vt1 * (5/4).
9) Теперь найдем время t для прохождения эскалатора с увеличенной скоростью эскалатора (u' = 2u):
Скорость эскалатора станет u' = 2u = 2(v/4) = v/2.
10) Время t можно найти из формулы:
L = vt + u't.
Так как u' = v/2, то:
L = vt + (v/2)t
L = vt(1 + 1/2) = vt(3/2).
11) Подставим L из предыдущего шага:
vt1 * (5/4) = vt(3/2).
12) Сократим на v и решим относительно t:
t = (vt1 * 5/4) / (v * 3/2).
13) Упрощаем:
t = (t1 * 5/4) / (3/2).
t = t1 * (5/4) * (2/3).
t = t1 * (10/12).
t = t1 * (5/6).
14) Подставим значение t1:
t = 45 * (5/6) = 37.5 с.
ответ:
Человек пройдет эскалатор за 37.5 секунд, если сохранит первоначальную скорость, а эскалатор увеличит свою скорость вдвое.