Дано:
- Скорость лодки относительно воды V_лодки = 10 м/с
- Скорость течения канала V_течения = 4 м/с
- Ширина канала S = 50 м
- Расстояние по течению между пристанями L = 120 м
Найти: минимальное время переправы туда и обратно.
Решение:
Для минимизации времени, нам нужно учесть, что скорость лодки относительно воды и течения канала будут складываться векторно. Лодка будет двигаться в направлении, которое учитывает как её собственную скорость, так и скорость течения.
1. Переправа в одном направлении (от A до B)
При движении лодки от пристани A к пристани B лодка должна преодолеть два компонента:
- Пересечь ширину канала (50 м) против течения.
- Пройти расстояние вдоль течения (120 м).
Скорость лодки по отношению к берегу будет зависеть от угла, под которым она направляется относительно течения.
Пусть угол между направлением движения лодки и направлением течения канала равен θ. Тогда скорость лодки относительно берега имеет два компонента:
- Вдоль берега: V_лодки * sin(θ)
- Перпендикулярно берегу (для преодоления ширины канала): V_лодки * cos(θ)
Чтобы лодка двигалась перпендикулярно к берегу (то есть пересекала канал), её компонент скорости вдоль канала должен компенсировать скорость течения. Это означает, что:
V_лодки * sin(θ) = V_течения
Таким образом, sin(θ) = V_течения / V_лодки = 4 / 10 = 0.4
θ = arcsin(0.4)
Теперь найдём компоненты скорости лодки:
- Перпендикулярно берегу скорость лодки будет V_лодки * cos(θ). Зная cos(θ) = √(1 - sin²(θ)) = √(1 - 0.16) = √0.84 ≈ 0.916, можно вычислить скорость лодки по направлению перпендикулярно берегу:
V_перпендикуляр = V_лодки * cos(θ) = 10 * 0.916 ≈ 9.16 м/с
Теперь вычислим время, которое лодка потратит на пересечение канала шириной 50 м:
t_переправа = S / V_перпендикуляр = 50 / 9.16 ≈ 5.46 с
2. Пройденное расстояние вдоль берега
После того как лодка пересекла канал, она должна пройти вдоль берега расстояние 120 м. Время, которое лодка потратит на это, равно:
t_по_течению = L / V_лодки * sin(θ) = 120 / (10 * 0.4) = 120 / 4 = 30 с
3. Обратная переправа
Когда лодка возвращается, она двигается против течения. Время для переправы обратно будет таким же, как и для первого пути, так как все параметры одинаковы (скорость лодки и скорость течения).
Таким образом, время для обратной переправы:
t_обратно = t_переправа + t_по_течению = 5.46 с + 30 с = 35.46 с
4. Общее время
Общее время переправы туда и обратно:
T_общ = 2 * t_переправа + 2 * t_по_течению = 2 * 5.46 + 2 * 30 = 10.92 + 60 = 70.92 с
Ответ: минимальное время переправы туда и обратно составит примерно 71 с.