Дано:
- радиус цилиндра r = 20 мм = 0,02 м.
- масса цилиндра M = 100 г = 0,1 кг.
- масса груза m = 100 г = 0,1 кг.
- высота груза h = 1 м.
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².
Найти:
время t, за которое груз опустится до пола.
Решение:
1) Сначала найдем момент инерции цилиндра I:
I = (1/2) * M * r².
Подставим известные значения:
I = (1/2) * 0,1 * (0,02)² = (1/2) * 0,1 * 0,0004 = 2 * 10^(-5) кг·м².
2) Затем запишем второй закон Ньютона для груза:
m * g - T = m * a,
где T — натяжение нити, a — линейное ускорение груза.
3) Запишем уравнение для вращательного движения цилиндра:
T * r = I * (a/r),
где a/r — угловое ускорение цилиндра.
4) Из второго уравнения выразим T:
T = m * g - m * a.
5) Теперь подставим это выражение в уравнение для вращательного движения:
(m * g - m * a) * r = I * (a/r).
6) Подставим известные значения для I и r:
(0,1 * 9,81 - 0,1 * a) * 0,02 = 2 * 10^(-5) * (a / 0,02).
7) Упростим уравнение:
(0,981 - 0,1 * a) * 0,02 = 2 * 10^(-5) * (a / 0,02).
0,01962 - 0,002 * a = 0,0005 * a.
Соберем все члены с a:
0,01962 = 0,002 * a + 0,0005 * a.
0,01962 = 0,0025 * a.
Теперь найдём a:
a = 0,01962 / 0,0025 ≈ 7,848 м/с².
8) Теперь можем найти время t, используя уравнение для равноускоренного движения:
h = (1/2) * a * t².
Подставим известные значения:
1 = (1/2) * 7,848 * t².
9) Упростим уравнение:
t² = 2 / 7,848 ≈ 0,254.
t = √0,254 ≈ 0,504 с.
Ответ:
Груз опустится до пола примерно за 0,504 секунды.