дано:
- скорость ракеты v_rocket = 2 км/с = 2000 м/с (вдоль оси x)
- масса выбрасываемого газа m_gas = 100 кг
- скорость выброшенного газа относительно Земли v_gas_Earth = 1 км/с = 1000 м/с (противоположно скорости ракеты)
- масса ракеты до выброса газа m_rocket_initial = 1 т = 1000 кг
найти:
а) проекция импульса ракеты с газом (до его выброса) на ось x в системе отсчёта, связанной с Землёй.
б) проекция импульса выброшенного газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй.
в) проекция импульса ракеты после выброса газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй.
г) модуль скорости ракеты после выброса газа в системе отсчёта, связанной с Землёй.
д) модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты.
решение:
а) Импульс ракеты с газом до его выброса:
P_initial = (m_rocket_initial + m_gas) * v_rocket
P_initial = (1000 + 100) * 2000
P_initial = 1100 * 2000 = 2200000 кг·м/с.
б) Импульс выброшенного газа на ось x:
Скорость выброшенного газа относительно Земли направлена против скорости ракеты, поэтому:
v_gas = - (v_gas_Earth) = -1000 м/с.
P_gas = m_gas * v_gas
P_gas = 100 * (-1000) = -100000 кг·м/с.
в) После выброса газа масса ракеты становится:
m_rocket_final = m_rocket_initial - m_gas = 1000 - 100 = 900 кг.
Теперь найдем проекцию импульса ракеты после выброса газа. Используем закон сохранения импульса:
P_initial = P_rocket_final + P_gas.
Мы знаем P_initial и P_gas, подставляем:
2200000 = P_rocket_final - 100000.
Отсюда:
P_rocket_final = 2200000 + 100000 = 2300000 кг·м/с.
г) Теперь можем найти модуль скорости ракеты после выброса газа. Используем формулу импульса:
P_rocket_final = m_rocket_final * v_rocket_final,
где v_rocket_final — скорость ракеты после выброса. Подставляем:
2300000 = 900 * v_rocket_final.
Решаем уравнение:
v_rocket_final = 2300000 / 900 ≈ 2555.56 м/с.
д) Модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты можно найти как разность их скоростей:
v_gas_relative = v_rocket - v_gas_Earth
= 2000 - (-1000)
= 2000 + 1000 = 3000 м/с.
ответ:
а) Проекция импульса ракеты с газом до выброса: P_initial = 2200000 кг·м/с.
б) Проекция импульса выброшенного газа: P_gas = -100000 кг·м/с.
в) Проекция импульса ракеты после выброса: P_rocket_final = 2300000 кг·м/с.
г) Модуль скорости ракеты после выброса: v_rocket_final ≈ 2555.56 м/с.
д) Модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты: v_gas_relative = 3000 м/с.