Дано:
- Напряжение источника тока U = 100 В.
- Суммарная мощность при последовательном соединении резисторов P1 = 40 Вт.
- Суммарная мощность при параллельном соединении резисторов P2 = 250 Вт.
Найти:
- Сопротивления резисторов R1 и R2.
Решение:
1. При последовательном соединении резисторов суммарное сопротивление Rсостав = R1 + R2. Мощность вычисляется по формуле:
P1 = U² / Rсостав.
Подставляем Rсостав = R1 + R2:
P1 = U² / (R1 + R2).
Подставим известные значения:
40 = 100² / (R1 + R2).
Получаем:
40 = 10000 / (R1 + R2).
Отсюда:
R1 + R2 = 10000 / 40 = 250 Ом.
2. При параллельном соединении резисторов общее сопротивление Rпаралл = (R1 * R2) / (R1 + R2). Мощность при параллельном соединении вычисляется по формуле:
P2 = U² / Rпаралл.
Подставляем Rпаралл = (R1 * R2) / (R1 + R2):
P2 = U² / ((R1 * R2) / (R1 + R2)).
Подставляем известные значения:
250 = 10000 / ((R1 * R2) / (R1 + R2)).
Умножаем обе части на (R1 + R2):
250 * (R1 + R2) = 10000 * (R1 * R2) / (R1 + R2).
Получаем:
250 * (R1 + R2)² = 10000 * R1 * R2.
Подставляем R1 + R2 = 250:
250 * 250² = 10000 * R1 * R2.
Решаем:
250 * 62500 = 10000 * R1 * R2,
15625000 = 10000 * R1 * R2,
R1 * R2 = 15625000 / 10000 = 1562,5 Ом.
3. Теперь у нас есть система уравнений:
R1 + R2 = 250,
R1 * R2 = 1562,5.
Решим систему с помощью метода подбора или через квадратное уравнение. Представим R1 и R2 как корни квадратного уравнения:
x² - (R1 + R2)x + R1 * R2 = 0.
Подставим значения:
x² - 250x + 1562,5 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = 250² - 4 * 1 * 1562,5 = 62500 - 6250 = 56250.
Корни уравнения:
x = (250 ± √56250) / 2 = (250 ± 237,17) / 2.
Получаем два корня:
x1 = (250 + 237,17) / 2 = 243,585,
x2 = (250 - 237,17) / 2 = 6,415.
Таким образом, сопротивления резисторов равны:
R1 ≈ 243,6 Ом и R2 ≈ 6,4 Ом.
Ответ:
Сопротивления резисторов R1 ≈ 243,6 Ом и R2 ≈ 6,4 Ом.