дано:
масса груза m = 100 г = 0,1 кг (в СИ)
жесткость пружины k = 10 Н/м
амплитуда колебаний A = x_max (начальное смещение)
найти:
время t, через которое потенциальная энергия пружины станет равна кинетической энергии груза.
решение:
1. Формула для потенциальной энергии U пружины:
U = (1/2) * k * x^2,
где x - смещение от положения равновесия.
2. Формула для кинетической энергии K груза:
K = (1/2) * m * v^2,
где v - скорость груза.
3. При условии, что U = K, имеем:
(1/2) * k * x^2 = (1/2) * m * v^2.
Упрощаем уравнение:
k * x^2 = m * v^2.
4. Скорость можно выразить через смещение и время. Для гармонического осциллятора:
x(t) = A * cos(ωt),
где ω = sqrt(k/m).
5. Найдем угловую частоту ω:
ω = sqrt(k/m) = sqrt(10 / 0.1) = sqrt(100) = 10 рад/с.
6. Теперь можем выразить скорость v через время:
v(t) = dx/dt = -A * ω * sin(ωt).
7. Подставляем x и v в уравнение U = K:
k * (A * cos(10t))^2 = m * (-A * ω * sin(10t))^2.
8. Упрощаем уравнение:
10 * (A^2 * cos^2(10t)) = 0.1 * (A^2 * 100 * sin^2(10t)).
Сократим на A^2 (предполагая, что A не равно 0):
10 * cos^2(10t) = 10 * sin^2(10t).
9. Далее упрощаем и делим обе части на 10:
cos^2(10t) = sin^2(10t).
Это уравнение верно, когда:
tan^2(10t) = 1, или tan(10t) = ±1.
10. Решения получаются при:
10t = π/4 + nπ, где n – целое число.
11. Наименьшее положительное значение при n = 0:
10t = π/4.
Следовательно, t = π/40 с.
ответ:
Минимальный промежуток времени, через который потенциальная энергия пружины станет равной кинетической энергии груза, составляет π/40 секунд (примерно 0,0785 с).