Дано: E_проб = 100 кВ/см = 100 * 10^3 В / 10^-2 м = 10^7 В/м R_2 = 10 см = 0.1 м
Найти: R_1 - радиус внутреннего электрода U_max - максимальное напряжение
Решение:
Напряженность электрического поля в сферическом конденсаторе определяется формулой: E = Q / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * r^2), где Q - заряд на обкладках, эпсилон_0 - электрическая постоянная (8.85 * 10^-12 Ф/м), эпсилон - диэлектрическая проницаемость среды, r - расстояние от центра конденсатора.
Максимальная напряженность электрического поля будет на поверхности внутреннего электрода (r = R_1). Таким образом: E_проб = Q / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1^2)
Емкость сферического конденсатора:
C = 4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1 * R_2 / (R_2 - R_1)
Связь заряда, емкости и напряжения:
Q = C * U
Напряжение на конденсаторе: U = E * R_1^2 * (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон) * (R_2 - R_1) / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1 * R_2) U = E * R_1 * (R_2 - R_1) / R_2
Максимальное напряжение достигается при максимальной напряженности поля:
U_max = E_проб * R_1 * (R_2 - R_1) / R_2
Проницаемость трансформаторного масла эпсилон примем равным 2.2 (это обычное приближение).
Максимальная напряженность поля достигается на поверхности внутреннего электрода, следовательно, R_1 нужно найти, чтобы условие E = E_проб выполнялось на R_1. В формуле 5 при E = E_проб имеем: E_проб = Q / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1^2) Q = E_проб * 4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1^2
С другой стороны, U = Q/C, и C = 4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1 * R_2 / (R_2 - R_1) U = Q * (R_2 - R_1) / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1 * R_2) Подставляем значение Q из (8) в U: U = E_проб * 4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1^2 * (R_2 - R_1) / (4 * пи * эпсилон_0 * эпсилон * R_1 * R_2) = E_проб * R_1 (R_2 - R_1) / R_2 U_max = E_проб * R_1 * (R_2 - R_1) / R_2
Выражение для U_max через R_1 имеет вид: U_max = E_проб / R_2 * (R_1R_2 - R_1^2) Исследуем функцию U_max(R_1) на максимум (как функцию от R_1), приравняв производную к нулю: dU_max/dR_1 = E_проб / R_2 * (R_2 - 2 * R_1) = 0 R_2 - 2R_1 = 0 R_1 = R_2 / 2 = 0.1 м / 2 = 0.05 м = 5 см
Подставляем значение R_1 в выражение для U_max: U_max = E_проб * 0.05 * (0.1 - 0.05) / 0.1 = 10^7 * 0.05 * 0.05 / 0.1 = 10^7 * 0.025 = 250000 В = 250 кВ
Ответ: R_1 = 0.05 м = 5 см U_max = 250000 В = 250 кВ