Question

Резиновый шарик массой 2 г надувается гелием при температуре17°С. По достижении в шарике давления, равного 1,1⋅105 Па, он лопается. Какова была масса гелия в шарике перед тем, как он лопнул, если он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка рвется при толщине 2⋅10–3 см. Плотность резины 1,1 г/см3, молярная масса гелия 4 г/моль.

Answer 1

Дано:
- Масса резинового шарика m_ball = 2 г = 0.002 кг (переведем в СИ)
- Давление в шарике P = 1.1 × 10^5 Па
- Температура T = 17 °C = 290 К (переведем в Кельвины)
- Толщина резиновой пленки d = 2 × 10^-3 см = 2 × 10^-5 м (переведем в СИ)
- Плотность резины ρ_rubber = 1.1 г/см^3 = 1100 кг/м^3 (переведем в СИ)
- Молярная масса гелия M_helium = 4 г/моль = 0.004 кг/моль (переведем в СИ)

Найти:
- Массу гелия m_helium в шарике перед его лопанием.

Решение:
1. Находим объем резинового шарика V_ball. Для этого сначала найдем его радиус R. Объем резины можно выразить через плотность и массу:
   m_rubber = V_ball * ρ_rubber
   V_ball = m_ball / ρ_rubber
   V_ball = 0.002 / 1100
   V_ball ≈ 1.818 × 10^-6 м^3

2. Объем гелия в шарике V_helium можно выразить через объем резиновой оболочки. Предположим, что резиновая оболочка имеет толщину d, тогда объем шарика V_total будет:
   V_total = V_ball + V_helium
   V_total = (4/3) * π * R^3
   Объем резины можно выразить через внешние и внутренние радиусы:
   V_rubber = V_total - V_ball
   V_rubber = (4/3) * π * (R + d)^3 - (4/3) * π * R^3

3. Приравниваем объем резины к массе резины:
   (4/3) * π * (R + d)^3 - (4/3) * π * R^3 = m_ball / ρ_rubber

4. Теперь можем использовать уравнение состояния идеального газа для определения массы гелия в шарике:
   PV = nRT
   n = PV / (RT)
   Где n – количество молей гелия, V – объем гелия:
   V = V_total - V_ball
   
   m_helium = n * M_helium

5. Подставляем и вычисляем:
   n = (P * (V_total - V_ball)) / (R * T)
   m_helium = n * M_helium

Поскольку V_total и R нам не известны, можно воспользоваться приближенной формулой для искомой массы гелия, учитывая, что V_total ~ V_ball при маленькой толщине оболочки.

6. Подставляем известные значения и считаем:
   m_helium = (P * V_ball) / (R * T) * M_helium

Теперь подставляем значения:
- P = 1.1 × 10^5 Па
- V_ball = 1.818 × 10^-6 м^3
- R = 8.31 Дж/(моль·К)
- T = 290 К

m_helium = (1.1 × 10^5 * 1.818 × 10^-6) / (8.31 * 290) * 0.004 = 0.341 г.

Ответ:
Масса гелия в шарике перед его лопанием составила приблизительно 0.000341 кг или 0.341 г.