дано: прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Гипотенуза AB.
найти: доказать, что центром описанной около треугольника окружности является середина гипотенузы AB.
решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, гипотенуза AB является самой длинной стороной. Стороны AC и BC являются катетами.
2. По свойству окружности, окружность, описанная вокруг треугольника, проходит через все три его вершины (A, B, C). Центр этой окружности (точка O) находится на пересечении перпендикуляров к сторонам треугольника.
3. Для прямоугольного треугольника известно, что центр описанной окружности находится на серединном перпендикуляре к гипотенузе. Это значит, что точка O будет находиться на серединном перпендикуляре отрезка AB.
4. Обозначим середину гипотенузы AB как точку M. По определению, точка M делит отрезок AB пополам, следовательно, AM = MB.
5. Теперь вспомним, что расстояние от центра окружности до каждой из вершин треугольника должно быть одинаковым. Поскольку M - это середина гипотенузы, то OM = OA = OB, так как по свойству окружности радиусы равны.
6. Таким образом, мы можем заключить, что если угол C равен 90°, то центр описанной вокруг треугольника ABC окружности совпадает с серединой гипотенузы AB.
ответ: центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.