дано: равносторонний треугольник ABC.
найти: доказать, что центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
решение:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°. Обозначим длину стороны треугольника как a.
2. Центр описанной окружности (точка O) находится на пересечении перпендикуляров к сторонам треугольника, и в равностороннем треугольнике он совпадает с центром треугольника, так как симметрия треугольника позволяет строить все перпендикуляры одинаково.
3. Центр вписанной окружности (точка I) находится на пересечении биссектрис углов треугольника. В равностороннем треугольнике все углы равны, и, следовательно, все биссектрисы также будут пересекаться в одной точке, которая будет центром треугольника.
4. Таким образом, в равностороннем треугольнике центр описанной окружности и центр вписанной окружности совпадают, так как оба этих центра находятся в одной и той же точке — центре треугольника.
ответ: в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.