Дано:
- Треугольники ABC и ADC равнобедренные, основание AC общее.
- AB = CD.
- Прямая BD пересекает AC в точке O.
Найти:
а) Докажите, что BD⊥AC.
б) Докажите, что AO — медиана треугольника ABD.
Решение:
а) Доказательство, что BD⊥AC.
1. В треугольнике ABC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: угол BAC = угол ABC.
2. В треугольнике ADC тоже равнобедренный, следовательно, угол ACD = угол ADC.
3. Теперь рассмотрим прямую BD, которая пересекает основание AC в точке O. Мы должны доказать, что эта прямая перпендикулярна основанию AC.
4. Из симметрии треугольников ABC и ADC, а также из того, что AB = CD, следует, что прямая BD является серединным перпендикуляром к основанию AC.
5. Таким образом, BD⊥AC, потому что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры совпадают.
Ответ: BD⊥AC.
б) Доказательство, что AO — медиана треугольника ABD.
1. В треугольниках ABC и ADC основание AC общее, а стороны AB и CD равны, следовательно, треугольники ABD и CBD имеют равные стороны: AB = CD и угол ABD = угол CBD (по теореме о равных углах при основании равнобедренных треугольников).
2. В результате этих равенств треугольники ABD и CBD являются равными по стороне, углу и стороне (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними).
3. Поскольку треугольники ABD и CBD равны, то точка O является серединой отрезка BD, а прямая AO делит треугольник ABD на два равных по площади треугольника. Таким образом, AO является медианой треугольника ABD.
Ответ: AO — медиана треугольника ABD.