Дано:
- Периметр треугольника равен 48 см.
- Средние линии треугольника относятся как 3 : 4 : 5.
Найти:
Стороны треугольника.
Решение:
1. Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Средние линии треугольника относятся как 3 : 4 : 5, это означает, что средние линии пропорциональны полусуммам противоположных сторон.
2. Обозначим длины средних линий как m1, m2 и m3. Из условия задачи известно, что они относятся как 3 : 4 : 5. То есть:
m1 : m2 : m3 = 3 : 4 : 5.
Средняя линия м1, м2 и м3 равна половине длины противоположной стороны, то есть:
m1 = (b + c - a) / 2,
m2 = (a + c - b) / 2,
m3 = (a + b - c) / 2.
3. Из условия задачи видно, что периметр треугольника равен 48 см, то есть:
a + b + c = 48 см.
4. Используя пропорции для средних линий, можно выразить стороны треугольника через коэффициенты пропорции k, так что:
m1 = 3k, m2 = 4k, m3 = 5k.
Подставляем это в выражения для средних линий:
(b + c - a) / 2 = 3k,
(a + c - b) / 2 = 4k,
(a + b - c) / 2 = 5k.
5. Умножим обе части каждого уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
b + c - a = 6k,
a + c - b = 8k,
a + b - c = 10k.
6. Сложим все три уравнения:
(b + c - a) + (a + c - b) + (a + b - c) = 6k + 8k + 10k,
2a + 2b + 2c - (a + b + c) = 24k,
a + b + c = 24k.
7. Из условия задачи известно, что a + b + c = 48 см, поэтому:
24k = 48,
k = 48 / 24 = 2.
8. Теперь, зная k, подставим его в выражения для сторон:
a = 6k = 6 * 2 = 12 см,
b = 8k = 8 * 2 = 16 см,
c = 10k = 10 * 2 = 20 см.
Ответ: Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см.