дано:
Пусть даны два подобных треугольника ABC и A'B'C', где коэффициент подобия равен k. Обозначим соответствующие стороны треугольников как a, b, c и a', b', c'.
найти:
а) Доказать, что отношение соответствующих медиан равно k.
б) Доказать, что отношение соответствующих биссектрис равно k.
в) Доказать, что отношение соответствующих высот равно k.
решение:
а) Для доказательства отношения соответствующих медиан:
Обозначим медиану треугольника ABC, проведенную из вершины A, как m_a. Медиана делит сторону BC на две равные части. Поскольку треугольники подобны, все соответствующие стороны пропорциональны, и, следовательно, длина медианы будет также пропорциональна коэффициенту подобия.
Используя формулу для вычисления медианы:
m_a = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2),
m_a' = (1/2) * sqrt(2b'^2 + 2c'^2 - a'^2).
Так как a' = k*a, b' = k*b, c' = k*c, подставляем в формулу и получаем:
m_a' = (1/2) * sqrt(2(kb)^2 + 2(kc)^2 - (ka)^2) = k * m_a.
Таким образом, отношение медиан:
m_a / m_a' = 1/k.
ответ: Отношение соответствующих медиан равно k.
б) Для доказательства отношения соответствующих биссектрис:
Обозначим длину биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины A, как l_a. Биссектрисы в подобных треугольниках также будут пропорциональны коэффициенту подобия. Используя формулу для длины биссектрисы:
l_a = (2bc / (b+c)) * cos(A/2),
l_a' = (2b'c' / (b'+c')) * cos(A'/2).
С учетом того, что b' = k*b и c' = k*c, имеем:
l_a' = (2(kb)(kc) / (kb + kc)) * cos(A/2) = k * l_a.
Таким образом, отношение биссектрис:
l_a / l_a' = 1/k.
ответ: Отношение соответствующих биссектрис равно k.
в) Для доказательства отношения соответствующих высот:
Обозначим высоту треугольника ABC, проведенную из вершины A, как h_a. Высота также пропорциональна коэффициенту подобия, поскольку все измерения в подобных треугольниках увеличиваются в k раз.
h_a' = k * h_a.
Следовательно, отношение высот:
h_a / h_a' = 1/k.
ответ: Отношение соответствующих высот равно k.