Дано:
- четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
Найти: доказать, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, является параллелограммом.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения медиан треугольников:
- M1 — точка пересечения медиан треугольника ABC,
- M2 — точка пересечения медиан треугольника BCD,
- M3 — точка пересечения медиан треугольника CDA,
- M4 — точка пересечения медиан треугольника DAB.
2. В каждом из треугольников (ABC, BCD, CDA, DAB) медианы делят стороны в равных частях. Поскольку ABCD — параллелограмм, мы знаем, что противоположные стороны равны и параллельны.
3. Пусть координаты вершин параллелограмма будут следующими:
- A(0, 0),
- B(a, 0),
- C(a + b, c),
- D(b, c).
4. Найдем точки пересечения медиан для треугольника ABC.
- Координаты медиан:
- M1 = ((A + B + C) / 3) = ((0 + a + (a + b)) / 3, (0 + 0 + c) / 3) = ((2a + b) / 3, c / 3).
5. Аналогично для треугольника BCD:
- M2 = ((B + C + D) / 3) = ((a + (a + b) + b) / 3, (0 + c + c) / 3) = ((2a + 2b) / 3, 2c / 3).
6. Для треугольника CDA:
- M3 = ((C + D + A) / 3) = (((a + b) + b + 0) / 3, (c + c + 0) / 3) = ((a + 2b) / 3, 2c / 3).
7. Для треугольника DAB:
- M4 = ((D + A + B) / 3) = ((b + 0 + a) / 3, (c + 0 + 0) / 3) = ((a + b) / 3, c / 3).
8. Теперь сравним векторы M1M3 и M2M4:
- M1M3 = M3 - M1 = ((a + 2b) / 3 - (2a + b) / 3, 2c / 3 - c / 3) = ((a + 2b - 2a - b) / 3, (2c - c) / 3) = ((-a + b) / 3, c / 3).
- M2M4 = M4 - M2 = ((a + b) / 3 - (2a + 2b) / 3, c / 3 - 2c / 3) = ((a + b - 2a - 2b) / 3, (c - 2c) / 3) = ((-a - b) / 3, -c / 3).
9. Мы видим, что векторы M1M3 и M2M4 имеют одинаковую длину, но с разными направлениями (параллельны), следовательно, угол между ними равен 180°.
10. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника M1M2M3M4 равны и параллельны, что доказывает, что этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, является параллелограммом.