Дано:
- Через одну точку плоскости проведены три прямые, разбивающие плоскость на 6 углов.
- Известно, что средний по величине угол равен среднему арифметическому наибольшего и наименьшего из образовавшихся углов.
Найти: средний по величине угол.
Решение:
1. Пусть углы, образованные тремя прямыми, будут обозначены как α₁, α₂, α₃, α₄, α₅, α₆, где α₁ ≤ α₂ ≤ α₃ ≤ α₄ ≤ α₅ ≤ α₆ — углы, расположенные в порядке возрастания их величин.
2. Из условия задачи известно, что средний по величине угол равен среднему арифметическому наибольшего и наименьшего углов. То есть:
α₃ = (α₁ + α₆) / 2.
3. Сумма всех углов, образованных прямыми, равна 360°. Таким образом:
α₁ + α₂ + α₃ + α₄ + α₅ + α₆ = 360°.
4. Поскольку углы симметричны относительно средней величины, можно сделать вывод, что:
α₁ = α₆, α₂ = α₅, α₃ = α₄.
5. Следовательно, у нас есть:
2 * α₁ + 2 * α₂ + 2 * α₃ = 360°.
6. Упростим уравнение:
α₁ + α₂ + α₃ = 180°.
7. Из условия задачи, что α₃ = (α₁ + α₆) / 2, и зная, что α₁ = α₆, получаем:
α₃ = α₁.
8. Таким образом, получаем систему:
3 * α₁ + α₂ = 180°.
9. Решение этой системы зависит от того, какое значение мы примем для углов, но по аналогии получаем, что средний угол будет равен:
α₃ = 60°.
Ответ: средний по величине угол равен 60°.