а) Дано:
- радиус вписанной окружности (r) = 2 см,
- гипотенуза (c) = 13 см.
Найти: периметр треугольника (P).
Решение:
Для прямоугольного треугольника существует связь между периметром, радиусом вписанной окружности и сторонами треугольника. Периметр можно найти по формуле:
P = 2 * (a + b), где a и b — катеты.
Также для прямоугольного треугольника существует формула для нахождения периметра через радиус вписанной окружности и гипотенузу:
P = c + 2r.
Подставляем известные значения:
P = 13 + 2 * 2 = 13 + 4 = 17 см.
Ответ: периметр треугольника равен 17 см.
б) Дано:
- отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, равны 5 см и 12 см.
Найти: периметр треугольника (P).
Решение:
В этом случае отрезки гипотенузы, делящиеся на 5 см и 12 см, соответствуют длинам катетов треугольника, так как точка касания окружности делит гипотенузу на два отрезка, которые равны полуразностям между катетами.
Пусть катеты треугольника равны a = 5 см и b = 12 см. Периметр прямоугольного треугольника:
P = a + b + c.
Найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:
c = √(a² + b²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.
Теперь находим периметр:
P = 5 + 12 + 13 = 30 см.
Ответ: периметр треугольника равен 30 см.