Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Точка O — центр описанной окружности, которая лежит на стороне AB. Один из острых углов треугольника равен 30°. Точка M — центр вписанной окружности.
Найти:
Угол МОС.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, центр описанной окружности O лежит на середине гипотенузы AB (по свойствам окружности, описанной около прямоугольного треугольника). Следовательно, длина отрезка AO = BO = R, где R — радиус описанной окружности.
2. Из условия задачи один из острых углов треугольника равен 30°. Пусть угол A = 30°. Тогда угол B = 60° (углы в треугольнике в сумме дают 180°, и угол C уже равен 90°).
3. Центр вписанной окружности M находится на пересечении угловых биссектрис треугольника. Угол между отрезками OM и OS (где S — точка на окружности, касается которой отрезок ОС) является половиной угла при вершине треугольника.
4. Поскольку точка O является центром описанной окружности, угол между прямой OM и прямой OS будет составлять половину угла при вершине треугольника. В данном случае угол между прямыми МО и ОС будет равен половине угла при вершине A или B, то есть угол МОС = 90° - 30° = 60°.
Ответ:
Угол МОС = 60°.