дано:
гипотенуза = a + b, где a и b - отрезки, на которые делится гипотенуза.
b = a - 12 см (один отрезок на 12 см больше другого).
радиус окружности (r) = 4 см.
найти:
площадь треугольника (S).
решение:
1. Выразим длины отрезков a и b через a:
b = a - 12.
Тогда гипотенуза будет равна:
c = a + (a - 12) = 2a - 12.
2. Используя формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
r = S / p,
где p - полупериметр, а S - площадь треугольника.
3. Полупериметр можно выразить как:
p = (a + b + c) / 2 = (a + (a - 12) + (2a - 12)) / 2 = (4a - 24) / 2 = 2a - 12.
4. Подставляем значения в формулу:
r = S / p => S = r * p.
Теперь подставим значения:
S = 4 * (2a - 12) = 8a - 48.
5. Найдем a и b, используя теорему Пифагора.
Для прямоугольного треугольника выполняется:
a^2 + b^2 = c^2,
где c = 2a - 12.
Подставим выражения для b:
a^2 + (a - 12)^2 = (2a - 12)^2.
6. Раскроем скобки:
a^2 + (a^2 - 24a + 144) = (4a^2 - 48a + 144).
Соберем все в одну сторону:
2a^2 - 24a + 144 = 4a^2 - 48a + 144.
Упростим:
0 = 2a^2 - 24a,
0 = 2a(a - 12).
7. Получаем a = 0 или a = 12.
a = 12 (длина не может быть равна 0).
8. Теперь найдем b:
b = a - 12 = 12 - 12 = 0 (не подходит).
Так что подставим a = 12 в уравнение c:
c = 2(12) - 12 = 12.
9. Теперь вычислим площадь S:
S = 4 * (2*12 - 12) = 4 * 12 = 48 см².
ответ:
площадь треугольника равна 48 см².