Question

Сплошные шары — алюминиевый и железный — уравновешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если оба шара погрузить в воду? Рассмотрите случай, когда шары:
а) имеют одинаковую массу; б) имеют одинаковый объем.

Answer 1

Перевесит железный шар, т.к. железо имеет большую плотность, чем алюминий, а значит при равных массах меньший объем. На железный шар будет действовать меньшая выталкивающая сила.

Answer 2

Равновесие не нарушится, если шары имеют одинаковый объем, т.к. в этом случае на шары будет действовать одинаковая выталкивающая сила. Если шары имеют равные массы, то равновесие будет нарушено, т.к. алюминиевый шар в этом случае будет иметь больший объем, следовательно на него будет действовать большая выталкивающая сила.

Answer 3

Дано:
- Плотность алюминия ρ_Al ≈ 2700 кг/м³.
- Плотность железа ρ_Fe ≈ 7900 кг/м³.
- Плотность воды ρ_воды = 1000 кг/м³.

Найти:
Нарушится ли равновесие, если оба шара полностью погрузить в воду, и какой шар перевесит.

Решение:

Рассмотрим два случая.

a) Шары имеют одинаковую массу.

1. Обозначим массу одного шара как m (m_Al = m_Fe = m).

2. Сила тяжести для каждого шара:
   F_tяжести_Al = m * g,
   F_tяжести_Fe = m * g.

3. При погружении в воду действует сила Архимеда:
   F_А_Al = V_Al * ρ_воды * g,
   F_А_Fe = V_Fe * ρ_воды * g.

4. Объем шаров можно выразить через массу и плотность:
   V_Al = m / ρ_Al,
   V_Fe = m / ρ_Fe.

5. Подставляем объемы в формулы Архимеда:
   F_А_Al = (m / ρ_Al) * ρ_воды * g,
   F_А_Fe = (m / ρ_Fe) * ρ_воды * g.

6. Рассчитаем силы Архимеда:
   F_А_Al = (m * 1000 / 2700) * g,
   F_А_Fe = (m * 1000 / 7900) * g.

7. Теперь находим результирующие силы, действующие на шары в воде:
   R_Al = F_tяжести_Al - F_А_Al,
   R_Fe = F_tяжести_Fe - F_А_Fe.

8. Сравниваем R_Al и R_Fe:
   R_Al = mg - (m * 1000 / 2700) * g,
   R_Fe = mg - (m * 1000 / 7900) * g.

9. Упрощаем уравнения:
   R_Al = mg(1 - 1000 / 2700),
   R_Fe = mg(1 - 1000 / 7900).

10. Сравниваем выражения:
   1 - 1000/2700 < 1 - 1000/7900, следовательно R_Fe > R_Al.

Ответ:
Если шары имеют одинаковую массу, то равновесие нарушится, и перевесит железный шар.

b) Шары имеют одинаковый объём.

1. Обозначим объем шаров как V (V_Al = V_Fe = V).

2. Масса шаров будет:
   m_Al = V * ρ_Al,
   m_Fe = V * ρ_Fe.

3. Силы тяжести для обеих масс:
   F_tяжести_Al = V * ρ_Al * g,
   F_tяжести_Fe = V * ρ_Fe * g.

4. Силы Архимеда:
   F_А_Al = V * ρ_воды * g,
   F_А_Fe = V * ρ_воды * g.

5. Рассчитываем результирующие силы:
   R_Al = F_tяжести_Al - F_А_Al,
   R_Fe = F_tяжести_Fe - F_А_Fe.

6. Подставляем значения:
   R_Al = (V * ρ_Al - V * ρ_воды) * g,
   R_Fe = (V * ρ_Fe - V * ρ_воды) * g.

7. Сравниваем:
   R_Al = Vg(ρ_Al - 1000),
   R_Fe = Vg(ρ_Fe - 1000).

8. Сравниваем выражения:
   Если ρ_Al < 1000, то R_Al < 0, а если ρ_Fe > 1000, то R_Fe > 0.

9. Проверяем, что ρ_Al < 1000 и ρ_Fe > 1000:
   Это означает, что алюминиевый шар имеет меньшую плотность, чем вода, а железный шар — большую.

Ответ:
Если шары имеют одинаковый объём, то равновесие также нарушится, и перевесит железный шар.