Республика - это государственный строй, предполагающий власть выборных институтов. В Римском государстве она возникла конкретно в виде олигархии, согласно легенде, после свержения царя, который правил как настоящий тиран, к тому же под влиянием идей, пришедших из эллинских (греческих) полисов. Согласно римской же традиции, это произошло в 509 году до н.э.
Империя - это единоличная власти, полная, как власть полководца во время похода. Изначально «империумом» как раз и называли власть полководца над своими солдатами, включая власть их казнить, во время войны. В результате гражданских войн, которые уничтожили республику, благодаря этим самым солдатам такая власть распространилась на всех римских граждан. Официально республика сменилась империей в 27 году до н.э.
Принципат - это первая стадия существования Римской империи, когда формально сохранялись республиканские институты, а император считался только принцепсом сената, то есть говорящим в этом сенате первым (однако, учитывая силу его власти и особенно его преторианской гвардии, стоявшей под самым Римом, это первое мнение оказывалось всеобщим). Принципат сформировался, когда стало понятно, что республиканский строй без дальнейших реформ приводит лишь к продолжению распрей, да и вообще институты, созданные для полиса, не подходят для управления к тому моменту уже огромным Римским государством.
Доминат - это последняя стадия существования Римской республики, при которой власть императора почти не отличалась от власти восточного деспота, он даже, как и восточные правители, считался богом, при этом правил с опорой на бюрократический аппарат. Доминат сформировался в условиях гражданских войн III века н.э. - объединивший империю Диоклетиан решил, что только укреплением центральной власти и её сакрализацией можно удержать страну от новых гражданских войн между легионами, каждый из которых провозглашает своего императора.