Для пружинного маятника, осуществляющего свободные незатухающие колебания, можно установить равенство кинетической энергии и потенциальной энергии в произвольный момент времени.
Кинетическая энергия маятника определяется его скоростью v и массой m следующим образом:
K = (1/2)mv^2.
Потенциальная энергия маятника, связанного с упругим осциллятором (пружиной), зависит от его отклонения x от положения равновесия и коэффициента жесткости пружины k:
U = (1/2)kx^2.
Момент, когда кинетическая энергия равна потенциальной, может быть записан как:
(1/2)mv^2 = (1/2)kx^2.
Сокращая общие множители, получаем:
mv^2 = kx^2.
Деление обеих частей уравнения на m, получим:
v^2 = (k/m)x^2.
Заменяем v^2 на (Aω)^2, где A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота колебаний, связанная с коэффициентами массы и жесткости следующим образом: ω = √(k/m).
(Aω)^2 = (k/m)x^2.
Деление обеих частей уравнения на k/m, получим:
(A^2/ω^2) = x^2.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
|x| = A/ω.
Таким образом, отклонение от положения равновесия маятника в момент, когда его кинетическая энергия равна потенциальной, равно A/ω, где A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота колебаний. Обратите внимание, что значение отклонения будет положительным, так как мы берем модуль значения |x|.