Эта фраза используется в значении, что эмоции и состояние человека могут быть отражены на его лице. В мире повседневных общений, люди могут выражать свои эмоции через мимику, выражение глаз и другие черты лица. Таким образом, лицо может являться своеобразным "холстом", на котором отображаются эмоциональные состояния и внутренние переживания человека.
Фраза "У него на лице всё написано" верна, потому что многие из нас выражают свои эмоции через лицевые выражения. Это может быть проявление радости, грусти, удивления, раздражения и так далее. Таким образом, лицо может служить неким "зеркалом" внутреннего мира человека, позволяя окружающим читать и понимать его эмоциональное состояние.