Давайте разберемся в задаче по подсчету количества аспирантов в группе и количества аспирантов, которые знают только английский или только французский язык.
Имеем следующие данные:
- Шестеро аспирантов знают английский.
- Шестеро аспирантов знают немецкий.
- Семеро аспирантов знают французский.
- Четверо аспирантов знают английский и немецкий.
- Трое аспирантов знают немецкий и французский.
- Двое аспирантов знают английский и французский.
- Один аспирант знает все три языка.
Давайте применим формулу включений и исключений для нахождения общего числа аспирантов в группе с учетом пересечения знания языков.
Обозначим:
- \( A \) - число аспирантов, знающих английский,
- \( B \) - число аспирантов, знающих немецкий,
- \( C \) - число аспирантов, знающих французский.
Тогда по формуле включений и исключений:
\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]
Подставим данные:
\[ n(A \cup B \cup C) = 6 + 6 + 7 - 4 - 3 - 2 + 1 = 11 \]
Таким образом, в группе аспирантов всего 11 человек.
Теперь рассмотрим аспирантов, знающих только один из языков:
- Аспиранты, знающие только английский: \( 6 - 4 - 2 + 1 = 1 \) человек
- Аспиранты, знающие только французский: \( 7 - 3 - 2 + 1 = 3 \) человека
Итак, в группе 11 аспирантов. Из них только 1 человек знает только английский язык, и 3 человека знают только французский язык.